Omaväärtused ja omavektorid

Skalaari nimetatakse nxn-maatriksi A omaväärtuseks (ladina juureks, karakteristlikuks juureks; ingl. eigenvalue), kui leidub selline nx1 mittenulliline vektor x, mis rahuldab võrdust

.

Viimane võrdus on teisiti üleskirjutatav kujul

.

Seega on maatriksi A omaväärtus siis ja ainult siis, kui on singulaarne (st, et ).

Võrrandit nimetatakse karakteristlikuks võrrandiks ja selle võrrandi lahendid ongi maatriksi A omaväärtused.

Maatriksi A kõigi omaväärtuste hulka nimetatakse maatriksi A spektriks.

Maatriksi A omaväärtusele vastavat mittenullilist vektorit x nimetatakse maatriksi A omavektoriks [ingl. eigenvector]. S.t., et mittenulliline vektor x on nxn-maatriksi A omaväärtusele vastav omavektor siis ja ainult siis, kui ta on homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendiks (z suhtes).

Omadused

1. Maatriksid A ja A^T on samade omaväärtustega.
2. Ruutmaatriksi A omaväärtuste summa võrdub tema jäljega ning korrutis determinandiga.
3. Sümmeetrilise maatriksi astak võrdub tema mittenulliliste omaväärtuste arvuga.
4. Kui on maatriksi A omaväärtus, siis on maatriksi Ak omaväärtus.
5. Olgu B nxn-maatriks, D diagonaalmaatriks, mille peadiagonaalil paiknevad maatriksi B omaväärtused ning L nxn-maatriks, mis koosneb maatriksi B omaväärtustele vastavatest omavektoritest. Kui L on mittesingulaarne, siis on maatriks B avaldatav kujul .

Näide. .

Maatriksile A vastav karakteristlik võrrand on

, s.t. .

Kirjutades viimase determinandi lahti saame, et , millest maatriksi A omaväärtused tulevad: ja .

Leitud omaväärtustele vastavate omavektorite leidmine pole enam nii lihtne. Siinkohal võiks vaid märkida, et kuna

ja ,

siis on vektorid ning omaväärtustele -5 ning 7 vastavad omavektorid
(rahuldavad võrdust ).