Ülesannete lahendused

1. , . Näidake, et .

   Lahendus. Standardsed maatrikstehted. Vastus on antud ülesande tekstis.

2. Näidake, et  on sümmeetriline.

   Lahendus. Tegelikult on see, et tulemusmaatriks on sümmeetriline, näha juba liidetavatest: mõlemad liidetavad on sümmeetrilised maatriksid ...

3. Näidake, et suvalise pxq-maatriksi H korral korrutismaatriksid HH^T ja H^TH on sümmeetrilised.

   Lahendus. Kui maatriks H on pxq-maatriks, siis tema transponeeritud maatriks H^T on qxp-maatriks, kusjuures , kus h_ij on maatriksi H i. reas ja j. veerus paiknev element ning h'_ij on maatriksi H^T j. reas ja i. veerus paiknev element.

   Korrutismaatriksi X = HH^T i. reas ja j. veerus paiknev element x_ij avaldub kujul

   ning j. reas ja i. veerus paiknev element x_ji kujul .

   Seega , iga i ja j korral. Et viimane tulemus on sümmeetrilise maatriksi tunnus, peabki korrutismaatriks X = HH^T olema sümmeetriline.

   Analoogselt on näidatav ka korrutismaatriksi Y = H^TH sümmeetrilisus.

4. Kontrollige, kas , kui .

   Lahendus. Tavaline maatriksite korrutamine, tingimus tulemuse õigsuse kontrollimiseks on kirjas ülesande tekstis (A² = A).

5. Näidake, et .

   Lahendus.

   

   

6. Näidake, et 2x2-maatriksi korral .

   Lahendus. 2x2-maatriksi A korral .

   Seega

7. Kas leidub pöördmaatriks (X^TX)^-1, kui .

   Lahendus. Ei leidu, sest maatriksi X veerud on lineaarselt sõltuvad (esimene veerg avaldub teise, kolmanda ja neljanda veeru summana).

   Muidugi võib teostada ka maatrikstehte X^TX ja leida tulemuseks saadud maatriksi determinandi. Viimase 0-ga võrdumisest järeldubki pöördmaatriksi mitteleidumine.

8. Järgnevas tabelis on toodud viie pulli tütarde 1. laktatsiooni keskmiste näitajate erinevused populatsiooni keskmisest.

	Piim, kg	Välimiku üldhinne	Seemenduste arv	Surnult sündide arv
Pull 1	+2117	+1,5	+1,7	+0,21
Pull 2	-985	+0,0	+0,7	-0,13
Pull 3	+1421	+0,4	+0,2	+0,04
Pull 4	-97	-1,2	-2,1	+0,05
Pull 5	+1875	+0,2	-0,6	-0,07

Pulli järglaste paremus või halvemus võrreldes populatsiooni keskmisega väljendab pulli poolt järglastele pärandatavate geenide mõju.
See, kui palju ühe ühikuline erinevus mingi tunnuse osas rahaliselt väärt on, et kirjas järgnevas tabelis.

Piim, kg	Välimiku üldhinne	Seemenduste arv	Surnult sündide arv
3.- EEK	150.- EEK	-250.- EEK	-1500.- EEK

Millise maatrikstehtega saab kahe toodud tabeli (maatriksi) alusel leida korraga iga pulli poolt järglastele pärandatavate geenide (so sisuliselt spermadoosi) rahalist väärtust?
Leidke vastav väärtus iga pulli tarvis ja järjestage pullid.

Lahendus. Moodustame tabelis toodud pullide tütarde keskmiste näitajate ja populatsiooni keskmiste näitajate vahelistest erinevustest maatriksi P (igale pullile vastab maatriksis üks rida ja igale näitajale üks veerg) ning näitajate rahalistest väärtustest veeruvektori x:

, .

Pullide poolt järglastele pärandatavate geenide rahalised väärtused on siis esitatavad maatrikskorrutise Px tulemuseks oleva vektori kujul:

.

Seega on pullide järjestus järgmine: Pull5, Pull1, Pull3, Pull4, Pull2. Seejuures pärandavad pullid 5, 1 ja 3 järglastele geneetilise potentsiaali tuua omanikele populatsiooni keskisega võrreldes enam kasu ning pullid 2 ja 4 pärandavad järglastele geneetilise potentsiaali tuua omanikele populatsiooni keskisega võrreldes vähem kasu.

9. Leidke üldist maatriksfunktsioonide algoritmi kasutades, millega võrdub M(M^-2 + M^-1M), kus maatriks M on kujul .

   Lahendus. Leiame esmalt maatriksi M omaväärtused, lahendades järgmise võrrandi:

      =>     =>     =>  .

   Konstantsete maatriksite Z₁ ja Z₂ leidmiseks tuleb konstrueerida vajalik võrrandisüsteem ja see lahendada:

   => => => .

   Edasi saabki arvutada M(M^-2 + M^-1M):

   .

10. Teostage eelmises ülesandes toodud tehe ühe tehetejärjekorrana MS Excelis.

    Lahendus. Paiknegu maatriks M Exceli töölehel lahtrites B2:C3. Tehte M(M^-2 + M^-1M) tulemusmaatriks on siis leitav tehetejärjekorraga

    =MMULT(B2:C3;(MMULT(MINVERSE(B2:C3);MINVERSE(B2:C3))+MMULT(MINVERSE(B2:C3);B2:C3)))