Vähimruutude hinnangud

Faktorite mõjud mudelist (2) hinnatakse vähimruutude meetodil, st et parameetervektori hinnang valitakse selliselt, et mudeli vigade ruudud oleks minimaalsed. Maatrikskujul on vähimruutude tingimus mudeli (2) tarvis väljendatav seosena

.

Hinnangu avaldamiseks tuleb mudeli (2) vigade ruutude summast

võtta tuletis järgi ja võrdsustada tulemus nulliga. Diferentseerimise tagajärjel saame

ning viimase avaldise nulliga võrdsustamisest järeldub, et

,

(12)

millest

.

(13)

Võrrand (12) on tuntud kui normaalvõrrand (normal equation) ja hinnang (13) kujutab enesest parameetervektori vähimruutude hinnangut (OLS, ordinary least squares), mis diagonaalse võrdsete dispersioonikomponentidega jääkdispersioonimaatriksi (9) korral on parim lineaarne nihketa hinnang (BLUE, best linear unbiased estimator). Sõna "parim" hinnangu nimetuses tähendab, et tegu on täpseima e väikseima dispersiooniga hinnanguga (efektiivse hinnanguga) ning sõna "nihketa" märgib hinnangu nn keskmist õigsust (süstemaatilise vea puudumist).

Kui meil on aga tegu keerulisema kovariatsioonistruktuuriga, kus ei ole võrdsete dispersioonikomponentidega diagonaalmaatriks, siis pole ka valemiga (13) defineeritud hinnang enam BLUE parameetervektorile . Hädast aitab välja kaval teisendus. Nimelt, kui teame dispersioonimaatriksit V, mis tänu dispersiooni definitsioonile on alati positiivselt määratud ja mistõttu leiduvad ka ja selline maatriks , et , võime võrrandi (2) mõlemaid pooli vasakult korrutada maatriksiga , saades tulemuseks mudeli

.

Tähistades , ja saame viimase mudeli esitada võrrandina

,

(14)

kusjuures

.

Et nüüd on meil dispersioonimaatriks diagonaalsel kujul, nagu on vaja BLUE esitamiseks valemi (13) abil, rakendame viimast mudelile (14) ja saame parameetervektori hinnangu kujul

.

(15)

Viimast hinnangut nimetatakse üldistatud vähimruutude hinnanguks (GLS, generalized least squares).

Juhul, kui analüüsitav mudel ei ole täisastakuga, ei ole normaalvõrrandi kordajate maatriksid ja (vastavalt tavalise ja üldistatud vähimruutude hinnangu puhul) pööratavad ja kasutada tuleb üldistatud pöördmaatrikseid.

Vähimruutude hinnangud (13) ja (15) saavad siis üldisemad kujud

(16)

ja

.

(17)

Näide 9. Vaatleme edasi tallede võõrutusmassi andmestikku ja hindame talle isa, soo, pesakonna suuruse ning võõrutusvanuse kui fikseeritud faktorite mõjud. Garanteerimaks hinnangute ühesust, võrdsustame nulliga iga faktori viimase taseme efekti (, , ). Ülejäänud efektide hindamiseks paneme kirja täisastakuga (ilma nulliga võrdsustatud efektidele vastavate veergudeta) plaanimaatriksi :

.

Et vaatluste dispersioonimaatriks on diagonaalsel kujul, , ja plaanimaatriks on täisveeruastakuga, saame faktorite mõjude vektori

hindamiseks kasutada valemit (13):

Peale kitsenduste lisamist saame mudeli (1) parameetrite hinnangud kujul

.

(18)

Võrreldes faktorite tasemete kaupa leitud aritmeetiliste keskmistega (vt tabelit näite lõpus) hakkab silma jäärade paremusjärjestuse muutus -- kui järglaste keskmiste väärtuste alusel võinuks eelistada jäära numbriga 1027, siis peale teiste faktorite mõjude arvesse võtmist on ilmselge hoopis jäära nr 1025 paremus. Andmetabelist (pt 3.1) põhjust otsides hakkab eelkõige silma, et jäära nr 1027 järglased on võõrutatud hiljem ja saanud seega kauem aega kasvada (positiivset seost võõrutus-vanuse ja võõrutusmassi vahel näitab ka regressioonikordaja positiivne väärtus, ). Jäärade mõjude hindamine mudeli (1) abil võimaldab nende seostega arvestada.

Faktorite tasemed ja neile vastavad keskmised võõrutusmassid:

Isa   1025 27,2 1027 29,5

Sugu   1 29,2 2 27,0

Pesakonna suurus 1 35,0 2 27,0 3 22,0